La solución gráfica en Programación Lineal

La Programación Lineal -PL- se clasifica entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, pues su impacto desde 1950 ha sido extraordinario.  El tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, es decir, en forma óptima.

La PL utiliza un modelo matemático para describir el problema.  El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales y la palabra programación es, en esencia, un sinónimo de planeación.  Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener el resultado que mejor alcance la meta especificada, según el modelo matemático, entre todas las alternativas de solución.

Un pequeño problema de sólo dos variables de decisión se puede resolver usando un procedimiento gráfico, el cual incluye la construcción de una gráfica de dos dimensiones con  X₁ y X₂  en los ejes.

Lo primero es identificar los valores de  X₁ y X₂ permitidos por las restriccciones.  Esto se hace dibujando cada una de las rectas que limitan los valores permitidos por una restricción, incluyendo las restricciones de no negatividad  X₁ ≥ 0 y X₂ ≥ 0    que exigen que  X₁ y X₂  estén en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Una vez hecho esto, disponemos de la región de valores permisibles de X₁ y X₂  para los cuales se satisfacen todas las condiciones del modelo matemático, denominada Región Factible. Finalmente se selecciona, dentro de esta región factible, el punto (X₁ , X₂)  que optimiza el valor de la función objetivo Z, el cual corresponde a las coordenadas de uno de los vértices del polígono que conforma la región factible.

En resumen, en el lenguaje matemático de PL, el problema consiste en seleccionar valores de X₁ y X₂  para:

Maximizar Z = 3X_{1 +} 5X₂ (Función Objetivo)

sujeta a las restricciones

X₁                      ≤ 4

             2X₂    ≤ 12

3X_{1   +}  2X₂    ≤ 18

y X₁ ≥ 0 , X₂ ≥ 0  (Restricciones de No Negatividad)

Para este modelo, la solución gráfica incluyendo el resultado óptimo se ve así:

Fuente: Hillier, F. y Lieberman, G. (2007). Introducción a la Investigación de Operaciones. Ciudad de México: Mc Graw Hill